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- L'énigme x (elle n'a pas de nom et ça n'est pas vraiment une énigme)
D'après vous y a t-il plus de nombres dans {0, 1, 2, 3, ...} (i.e N, l'ensemble des entiers naturels) ou dans {..., -2, -1, 0, 1, 2, ...} (i.e Z, l'ensemble des entiers relatifs) ? pourquoi ?
C'est pareil, si tu décales à l'infini les entiers relatifs pour qu'il soit dans le positif , tu obtiens la même chose que si c'était des entiers naturels qui tendent vers l'infini...
Sinon pour info la somme des entiers naturel qui tendent vers l'infini = - 1 / 12
Je peux faire appel à un ami ? Attends... dans mon agenda... Mh, j'ai un nom... Cantor... il devrait pouvoir tout te dire ^^
D'ailleurs, tu fais la même chose avec une droite et un segment. Qu'importe la longueur du segment, si tu raisonnes de manière infinitiste, tu as une infinité de points dans les deux éléments géométriques.
Comme je le disais la dernière fois, dommage que ça ne fonctionne pas pour les comptes bancaires... !
effectivement, c'est le principe des ensembles dénombrables et des nombres de Cantor. cela dit, je conseille de ne pas appeler Cantor, parce que d'une part il est mort, et de l'autre il est devenu fou avec ces notions d'ensemble.
cela dit, est-ce qu'on a démontré que R n'est pas dénombrable ou est-ce qu'on n'a pas su prouver que R était dénombrable ?
Cantor est devenu fou à cause des autres qui le dénigraient. Dire que droites et segments c'est tout un, c'est s'empêcher de franchir les classes de collège. Donc c'est sûr que... hum, "ça fout mal".
Pour ta question, je ne suis pas sûr de bien l'entendre !
on dit que R n'est pas dénombrable mais est ce cela a été démontré ?
Ma réponse sera tout sauf mathématique. Mais si l'on prend la question d'un autre point de vue; l'un comme l'autre ne possèdera pas plus ou moins que son comparse. L'infini est infini dans un sens comme dans l'autre après tout, et tout n'est qu'affaire de perception.
ah c'est toute la question que c'est posé notre ami Cantor... (qui au demeurant ne chantait pas à ce que je sache)
Patrick on a montré que R est indénombrable (il est plus grand que N Z ou Q) le truc qui est indécidable c'est de savoir si il existe un ensemble plus grand que N et plus petit que R. ça s'appelle l'hypothèse du continu !
Le tout est de savoir comment compter, quand on compte ses chaussettes par exemple: on dit
chausette 1
chausette 2
chausette 3
...
chausette n
puis quand on a plus de chausettes pour mettre un nombre olus grand dessus, on décide qu'il y a n chausettes.
En fait ce qu'on fait c'est qu'on associe a chaque element de {1,...,n} une chausette distincte. c'est ce qu'on appelle une bijection. la question était du coup:
Existe t-il une bijection entre N et Z ?
Ben, comme tu pourras toujours trouver une chaussette dans R qui ne sera pas dans N, parce qu'entre deux chaussettes de N tu as une infinité de chaussettes de pointure R, N et Z n'ont pas à vue d'oiseau la même générativité, en sorte qu'on ne peut pas vraiment tricher avec les décimales dans ces deux derniers ensembles.
D'ailleurs, c'est franchement embêtant quand on fait du 27 1/2 ou du 42 1/4, mais voilà, le monde des entiers est un monde qui manque beaucoup de finesse (avec R au moins tu peux toujours raccommoder car tu ne trouveras jamais aucun trou... et c'est pas mal d'éviter d'avoir à chausser des chaussettes discrètes, parce que si elles ne sont pas continues, ben on chope froid...).
Ok, je sors... mais les chaussettes et les maths, c'est l'pied ! 😄
C'est comme coupé en deux un morceau et encore en deux et encore en deux. ?
Là on rentre dans la tragédie grecque, hein ;)
https://fr.wikipedia.org/wiki/Paradoxe_d%27Achille_et_de_la_tortue
Et si on prend une infinité de boîtes et qu'on met deux chaussettes dans chacune, bien qu'il y aie une infinité de boîtes Et de chaussettes, est-ce qu'il y a quand même plus de chaussettes que de boîtes ?
Alumine : non, mais pour chaque échantillon fini de boîtes que tu prélèveras dans tes armoires infinies, il y aura 2 fois plus de chaussettes ;)
"Et si on prend une infinité de boîtes et qu'on met deux chaussettes dans chacune, bien qu'il y aie une infinité de boîtes Et de chaussettes, est-ce qu'il y a quand même plus de chaussettes que de boîtes ?"
Eh bien non ! il y a autant de chaussettes que de boites ! c'est simple, si je prends toutes les boites et j'enlève une chaussette dans chacune, ensuite je décale les chaussettes de la boite i à la boite 2*i (il n'y a qu'une manière d'obtenir un entier 2*n en multipliant les entiers par 2, c'est de prendre n, d'ou c'est bien une bijection de N dans 2N) et je mets les chaussettes que j'ai retiré dans les boites de numéro impair (c'est possible, car la fonction qui à n associe 2n+1 est bien une bijection aussi !)
en fait si tu mets un nombre fini de chaussettes dans chaque boite @alumine il y aura toujours autant de chaussettes que de boites: disons k est le nombre de chaussettes par boite, il suffira que je retire les k-1 chaussettes en trop et que je décale suivant f(n) = k*n, ensuite j'arriverais à trouver une boite vide pour chaque chaussette en associant les boites aux chaussettes suivant f(n) = k*n-1, ..., k*n-(k-1)
La question devient donc: que se passe t'il quand il y a une infinité de chaussettes par boite ?
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